Teorema de pitagoras

Poligonos regulares y sus angulos

NÚMERO DE LADOS	NOMBRE
3	Triángulo
4	Cuadrilátero
5	Pentágono
6	Hexágono
7	Heptágono
8	Octágono
9	Nonágono
10	Decágono

DIAGONALES: Para cualquier polígono, la fórmula para hallar la cantidad de diagonales que posee es:

  Ejemplo:
                    Determinar la cantidad de diagonales que posee un polígono de 28 lados.
                    En este caso n = 28, luego

 

                    Un polígono de 28 lados posee 350 diagonales.
 

ÁNGULOS INTERNOS: Sólo para polígonos regulares, la fórmula para hallar la medida de cada ángulo interno es:

    Suma de ángulos internos: Para cualquier polígono la suma de sus ángulos internos es:  

180(n – 2)

NOTA: La fórmula anteriormente entregada no necesita la hipótesis de polígono regular.

Ahora sí, empecemos... Tomemos como ejemplo un octágono. Lo primero que hacemos es dividir al octágono en triángulos trazando líneas desde uno de los vértices.

 

Indices e Indicadores

Definicion de Indicador:

Un indicador social es una medida de resumen, de preferencia estadística, referente a la cantidad o magnitud de un conjunto de parámetros o atributos de una sociedad. Permite ubicar o clasificar las unidades de análisis (personas, naciones, sociedades, bienes, etc.) con respecto al concepto o conjunto de variables que se están analizando.

Existen indicadores simples e indicadores complejos. Por ejemplo, la  tasa de analfabetismo y el acceso al agua potable son indicadores sociales simples, ya que se refieren a atributos que se puede constatar su presencia o nivel calidad en forma simple y empírica. Diferente es el caso de indicadores como  clase social o prestigio, que requieren un marco conceptual más complejo al ser un constructo teórico ambos y no tiene una equivalencia empírica concreta. En la composición de indicadores se debe tener conceptos claros y precisos y no requieren un gran desarrollo matemático o estadístico.

Simetria Axial

Una simetría axial de eje la recta r, transforma cada punto A en otro A' de forma que r es la mediatriz de AA'. Esto es:

• El eje r es perpendicular a AA'.
•  La distancia d(A,r) = d(r,A')

El eje de simetría actúa como un  espejo.

Algunos juegos infantiles nos acercan al mundo de las simetrías.

La simetría axial, en geometría, es una transformación respecto de un eje de simetría, en la cual, a cada punto de una figura se asocia a otro punto llamado imagen, que cumple con las siguientes condiciones:

a) La distancia de un punto y su imagen al eje de simetría, es la misma.

b) El segmento que une un punto con su imagen, es perpendicular al eje de simetría.

 

 

 En la simetría axial se conservan las distancias pero no el sentido de los ángulos. El eje de simetría es la mediatriz del segmento AA'.

Otro ejemplo:

 

 Son muchas los ejemplos de la belleza en la naturaleza. Es en ella que esta basados muchos de los conceptos matemáticos más cotidianos. Por ejemplo la mariposa que su belleza esta basada en su forma. Una mitad parece idéntica a la otra.

Rectas y puntos notables de un triangulo

Circuferencia  circunscrita
La que tiene su centro en el circuncentro de un triángulo y pasa por los tres vértices del triángulo.

• Todos los puntos de la mediatriz equidistan de los extremos del segmento.
• El circuncentro se encuentra a la misma distancia de los tres vértices del triángulo. Por tres puntos que están a la misma distancia de otro, pasa una única circunferencia.

Rectas y puntos notables de un Triangulo 

 En los triángulos hay una serie de rectas y puntos importantes. Las rectas son la mediana, la mediatriz, la altura y la bisectriz. Los puntos donde se cortan son el baricentro, el circuncentro, el ortocentro y el incentro, respectivamente.

Medianas 

Las medianas de un triángulo son las rectas que se obtienen al unir cada uno de los vértices del triángulo con el punto medio del lado opuesto a él.
Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto que se llama baricentro

 

El baricentro tiene una propiedad: la distancia del baricentro al vértice es el doble de la distancia del baricentro al lado opuesto.

Mediatrices

Las mediatrices de un triángulo son las rectas perpendiculares a sus lados que pasan por el punto medio.
Se cortan en un punto que está a la misma distancia de los tres vértices del triángulo. Ese punto se denomina circuncentro.

 

Con centro en el circuncentro, y radio la distancia del circuncentro a un vértice, dibujamos una circunferencia que pasa por los tres vértices; es la circunferencia circunscrita al triángulo.

 .Bisectrices

Las bisectrices de un triángulo son las rectas que dividen a sus ángulos en dos partes iguales.
Las bisectrices de un triángulo se cortan en un punto llamado incentro.

Con centro en el incentro, y radio la distancia de este punto a cualquiera de los lados del triángulo, se puede trazar una circunferencia tangente a los tres lados del triángulo: es la circunferencia inscrita.

 

Concepto de Funcion

Cuando una magnitud depende de otra se suele decir que está en función de ella. El concepto matemático de función exige que esta dependencia sea elemento, es decir, a un elemento le corresponde sólo un elemento.

 

Funcion

El lenguaje de las funciones está presente en la vida cotidiana. Por ejemplo, litros de gasolina y precio.

Por ejemplo, litros de gasolina y precio.

Usualmente X e Y son conjuntos de números.
Podemos comparar una función con una máquina a la cual se le 
introduce el elemento x y cuya salida correspondiente es f(x).
                                              

Formula General

ax2	bx	C
Término de segundo grado o cuadrático	Término de primer grado o lineal	Término independiente

Esto llevará a los alumnos a identificar los valores a, b y c; que usarán en la aplicación de la fórmula general que es:

Para reafirmar lo anterior se pude dejar de tarea lo siguiente:

Determina los valores de a, b y c de las siguientes ecuaciones y resuélvelas usando la fórmula general.

Ecuación	a	b	c
2x2 + 2x + 3 = 0	2	2	3
5x2 + 2x = 0	5	2	0
36x – x2 = 62	36	-1	-62

Fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas y discriminante:
y relación de la forma de la factorización con el valor de la discriminante:

Hay una relación estrecha entre la forma de la factorización de una ecuación cuadrática para su resolución y el valor de la discriminante en la fórmula general para resolución de ecuaciones cuadráticas.
La fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas es la siguiente:

Donde la discriminante es el valor que se encuentra dentro del radical:

Funciones Matematicas

Funciones Lineales

Explicacion de una funcion cuadratica

Funcion Cuadratica

Decimos que una función es cuadrática si se puede expresar de la forma

f(x)= ax²+bx+c

donde a,b y c son constantes y a # 0

La gráfica de una fución cuadrática es una parábola y su dominio es el conjunto de los númeos reales.

Si a>0, se dice que la parábola es positiva y, en este caso, abre hacia arriba. Si a<0, la parábola es negativa y abre hacia abajo.


A continuación se muestran tres funciones cuadráticas con sus respectivas gráficas y una lista de algunas de las parejas ordenadas que pertenecen a dichas funciones cuadràticas.

1)  f(x)= x² - 5x + 4

x	f(x)
0	4
1	0
2	-2
4	0
5	4

2)  f(x)= - 2x² - 5x + 4

x	f(x)
-5/2	4
-2	6
-1	7
0	4
1	3

3) f(x)= - x² - 5x + 2

x	f(x)
-6	-2
-5	4
-1	8
0	4
1	-2

Depreciacion y plusvalia

Definicion de Depreciacion:

Disminución del valor o precio de algo, ya con relación al que antes tenía, ya comparándolo con otras cosas de su clase.

Ejemplo :

Una Empresa textil compro una maquina por la cantidad de $ 2500 Dlls. La cual tenia una depreciacion de un 10% anual .

Definicion de Plusvalia: 

Incremento del valor de una cosa por causas externas

Ejemplo:

Si compramos un Terreno  que cuesta $ 500,00 pesos y su plusvalia anual es de 15% 

DIAGRAMA DE ARBOL

CONCEPTO:

Un diagrama de árbol es una representación gráfica que muestra los resultados posibles de una serie de experimentos y sus respectivas probabilidades.

En muchos experimentos en los que se puede aplicar la regla de Laplace, no es fácil contar los
resultados de los mismos. Puede ser útil hacer una representación, mediante un diagrama en árbol, de las distintas posibilidades:

Se lanza una moneda 3 veces. Calcular la probabilidad de que salgan 2 caras.

Hay 8 resultados posibles y tres favorables. La probabilidad es 3/8.

GUIA PARA EL EXAMEN DE MATEMATICAS 3

I.-  FORMULA GENERAL




II.- ECUACIONES COMPLETAS POR FACTORIZACION



III.- FACTORIZACION DE LA FORMA  ax 2 + bx = 0

Ejemplo.
Resolver la ecuación 4x² - 8x = 0:

a) Buscamos el máximo común divisor (MCD) entre 4 y -8

b) El MCD que debe expresarse como factor de ese binomio es 4: 4x (x – 2) = 0

c) Cada factor se iguala con cero, y los valores de x son:



  factor 1                           factor2
     4x= 0                             x-2 = 0
      x = 0/4 = 0                    x = 2



x₁ = 0
x₂ = 2

Ecuaciones Incompletas ax² + c = 0 

 Formula:     

 Procedimiento para resolución de una ecuación

1)	Se identifica los coeficientes a y c..
2)	Se remplaza en la fórmula y se efectua las operaciones indicadas.

 Ejemplo:

 x2 - 9 = 0

x2 = 9

Raiz de x2  y de 9

nos da igual a:

x= mas menos  3
Realiza los siguientes ejercicios

Ecuaciones Incompletas ax² + bx = 0    y    Ecuaciones Incompletas ax² + c = 0

01)  x2 = 81
02)		14x2 - 28 = 0
03)		(x + 6)(x - 6) = 13
04)		(2x - 5)(2x + 5) - 119 = 0
05)		(x + 11)(x - 11) = 23
06)		x2 = 7x
07)		21x2 + 100 = - 5
08)		2x2 - 6x = 6x2 - 8x

IV.- FACTORIZACION DE TRINOMIO CUADRADO PERFECTO




Realiza los siguientes ejercicios

01)		x2 + 6x + 9
02)		16x2 + 8x +1
03)		y2 + 10y + 25
04)		4y2 - 24y + 36
05)		49x2 + 112x + 64
06)		81y2 - 180y + 100
07)		25x2 + 30xy + 9y2
08)		81z2+ 108zw + 36w2

V.- TRIANGULOS SEMEJANTES

Dale click a la pagina de inernet

http://mtemasdeapyo.blogspot.com/2010/01/triangulos-semejantes.html

1Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.

2 Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.

3 Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual.

Ejercicios

Razona si son semejantes los siguientes triángulos:

Son semejantes porque tienen los lados proporcionales.

180º − 100º − 60º = 20º

Son semejantes porque tienen dos ángulos iguales.

Son semejantes porque tienen dos lados proporcionales y un ángulo igual.


 Realice el siguiente ejercicio

Determine y , si se tiene que , , y considerando la figura de la derecha, donde .

Medidas tendencia central: Media Mediana

Este tipo de medidas nos permiten identificar y ubicar el punto (valor) alrededor del cual se tienden ha reunir los datos (“Punto central”). Estas medidas aplicadas a las características de las unidades de una muestra se les denomina estimadores o estadígrafos; mientras que aplicadas a poblaciones se les denomina parámetros o valores estadísticos de la población. Los principales métodos utilizados para ubicar el punto central son la media, la mediana y la moda

1. MEDIA

Es la medida de posición central más utilizada, la más conocida y la más sencilla de calcular, debido principalmente a que sus ecuaciones se prestan para el manejo algebraico, lo cual la hace de gran utilidad. Su principal desventaja radica en su sensibilidad al cambio de uno de sus valores o a los valores extremos demasiado grandes o pequeños. La media se define como la suma de todos los valores observados, dividido por el número total de observaciones.

   

2. MEDIANA

Con esta medida podemos identificar el valor que se encuentra en el centro de los datos, es decir, nos permite conocer el valor que se encuentra exactamente en la mitad del conjunto de datos después que las observaciones se han ubicado en serie ordenada. Esta medida nos indica que la mitad de los datos se encuentran por debajo de este valor y la otra mitad por encima del mismo. Para determinar la posición de la mediana se utiliza la fórmula

   

Para comprender este concepto vamos a suponer que tenemos la serie ordenada de valores (2, 5, 8, 10 y 13), la posición de la mediana sería:

Lo que nos indica que el valor de la mediana corresponde a la tercera posición de la serie, que equivale al número (8). Si por el contrario contamos con un conjunto de datos que contiene un número par de observaciones, es necesario promediar los dos valores medios de la serie. Si en el ejemplo anterior le anexamos el valor 15, tendríamos la serie ordenada (2, 5, 8, 10, 13 y 15) y la posición de la mediana sería,

  

Es decir, la posición tres y medio. Dado que es imposible destacar la posición tres y medio, es necesario promediar los dos valores de la posiciones tercera y cuarta para producir una mediana equivalente, que para el caso corresponden a  (8 + 10)/2 =9. Lo que nos indicaría que la mitad de los valores se encuentra por debajo del valor 9 y la otra mitad se encuentra por encima de este valor.

En conclusión la mediana nos indica el valor que separa los datos en dos fracciones iguales con el cincuenta porciento de los datos cada una. Para las muestras que cuentan con un número impar de observaciones o datos, la mediana dará como resultado una de las posiciones de la serie ordenada; mientras que para las muestras con un número par de observaciones se debe promediar los valores de las dos posiciones centrales.

3. MODA

La medida modal nos indica el valor que más veces se repite dentro de los datos; es decir, si tenemos la serie ordenada (2, 2, 5 y 7), el valor que más veces se repite es el número 2 quien seria la moda de los datos. Es posible que en algunas ocasiones se presente dos valores con la mayor frecuencia, lo cual se denomina Bimodal o en otros casos más de dos valores, lo que se conoce como multimodal.

En conclusión las Medidas de tendencia central, nos permiten identificar los valores más representativos de los datos, de acuerdo a la manera como se tienden a concentrar. La Media nos indica el promedio de los datos; es decir, nos informa el valor que obtendría cada uno de los individuos si se distribuyeran los valores en partes iguales. La Mediana por el contrario nos informa el valor que separa los datos en dos partes iguales, cada una de las cuales cuenta con el cincuenta porciento de los datos. Por último la Moda nos indica el valor que más se repite dentro de los datos.